是的，中国移动可以免费更换路由器。当移动宽带路由器出现问题时，可以拨打移动公司客服电话要求免费更换。这个设备是向移动公司租用的，当设备出现故障后，可以联系移动客服安排工作人员上门免费更换设备。
但需要注意的是，这个服务可能需要一定的时间，一般需要3天内可以完成。如果过了保修期，那么就需要自己花钱购买新的路由器。